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[摘 要] 两角差的余弦公式有多种表征形式,从多元表征的视角实施两角差余弦公式的教学,有助于学生从多角度深刻理解公式、把握公式,从而发展学生的数学思维能力,提升学生的数学核心素养. 本文从多元表征的教学价值、表征形式的合理选择、表征出现的顺序设计、表征理解的持续深化等方面对两角差余弦公式的教学提出了建议.
[关键词] 表征；多元表征；理解；两角差的余弦公式
表征作为认知心理学的核心概念之一,是指在对象不呈现的情况下,替代这个对象的任何符号或符号集[1] . 在数学教育领域,数学表征本质上是指能够反复替代某一数学学习对象的任何符号或符号集. 数学表征可区分为内在表征和外在表征,即以语言、文字、图形、符号、具体物或实际情境等反映数学学习对象的外在形式和存在于个体头脑里而无法直接观察的心理活动的表征[2] .
根据认知心理学和教育心理学领域中对多元表征的定义：同一学习对象用叙述性表征和描绘性表征的多种形式表现出来,数学多元表征的定义基本上与认知心理学、教育心理学中一致,是指同一数学学习对象应该具有的多种表征形式. 它能够具体形象地刻画一个数学对象的多元属性,而且各种表征形式之间往往是相互渗透、相互联系、相互转化的. 运用多元表征有助于学生全面理解数学对象的本质、加深对数学对象的认识,从而完善认知结构,形成稳固的知识体系,进一步提升数学素养.
两角差的余弦公式是高中数学必修4第三章第1节的内容,此前学生已经学习了任意角三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式,具备了公式推导的基础. 同时它又是推导和角余弦公式、和（差）角正弦及正切公式、倍角公式的基础,不仅公式本身渗透了转化与化归的思想,而且公式的推导过程也蕴含了丰富的数学思想方法,具有较高的思维价值和教学价值. 高一年级学生刚刚从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡,是运用多元表征形式优化思维训练、深入理解数学对象的关键阶段.从多元表征的视角理解两角差余弦公式的教学,对于学生提高对公式的理解,发展学生的数学思维能力,顺利实现初高中数学学习的衔接都有积极的意义. 本文拟从多元表征的视角,谈谈对两角差余弦公式教学的一些思考,恳请同仁批评指正.
“两角差的余弦公式”的多元表征
两角差的余弦公式具有丰富的表征形式,可以用叙述性表征和描绘性表征进行刻画,教师应尽可能全面地梳理它的多种表征形式,为合理设计课堂教学方案准备充足的素材.
1. 符号表征：cos（α-β）等于cosαcosβ+sinαsinβ,也可简略地刻画为“cc+ss”. 符号化是数学高度抽象性和概括性的反映,运用符号表征,可以帮助学生牢固掌握公式的结构特征,培养学生的理性思维能力；简洁优美的公式蕴含了数学之美、数学之简、数学之奇,有利于提高学生的数学审美情趣和数学鉴赏能力.
2. 文字表征：两角差的余弦等于它们的余弦之积加上正弦之积的和,也有教师为便于记忆,把它形象地描述为“阔阔加莎莎”. 学生能够多用精练准确的文字语言表述公式,这不仅有利于对公式的准确理解和长时记忆,还有助于提升学生数学语言的修养和表达交流的能力.
3. 向量表征：构造起点为原点O,终点分别在单位圆上的向量a,b,并设a等于（cosα,sinα）,b等于（cosβ,sinβ）,则a·b等于cosαcosβ+sinαsinβ,可以证明a·b等于cos（α-β）,于是就有cos（α-β）等于cosαcosβ+sinαsinβ.运用向量表征,充分发挥了向量数形兼具的本质属性,揭示了向量与三角函数的联系,体会向量在解决三角问题中的工具性作用,为后续学习奠定基础.
4. 距离表征：在直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于点P0,以Ox轴为始边分别作出角α,β,α-β,其终边分别和单位圆交于点P1,P2,P3（如图1）,则这几个点的坐标分别是（1,0）,（cosα,sinα）,（cosβ,sinβ）,（cos（α-β）,sin（α-β））.
由△P1OP2?艿△P0OP3得,P1P2等于P0P3. 再根據两点间距离公式可得P1P 等于2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）,P0P 等于2-2cos（α-β）,从而公式成立. 距离表征沟通了三角函数定义与公式的联系,运用两点间的距离公式表征等式两端,巩固了解析法的应用,渗透了解析几何的基本思想.
图1
5. 图形表征：通过构造平面几何图形,将α,β,α-β“镶嵌”其中,用相关线段表示三角函数,以形助数,运用图形的几何性质推导公式,实现数与形的有机结合和高度统一,从而感悟数学和谐、体验数学美感. 当α,β为锐角时,可构造如下图形（如图2、3） [3]：
图2
再设OB等于1,不难推导cos（α-β）等于OA等于OC+CA等于cosαcosβ+sinαsinβ.
6. 情境表征：通过创设生活情境引出两角差的余弦公式,让学生经历建构数学模型和数学应用的过程,激发探究的动力和学习的兴趣,增强应用意识,领悟公式的应用价值.
情境1：如图4是我们学校教学楼架设网络管线的桥架,因创建“智慧校园”的需要,想把它焊接改造为较大的桥架（如图5）[4] ,试确定最佳焊接点E.
图4
图5
我们可以从中抽象出如下数学问题,在Rt△ABD中,∠ABC等于∠AEC等于90°,∠DAB等于α,∠CAB等于β,AC等于1,求AE的长.
对AE进行“算两次”,一方面AE等于cos（α-β）,另一方面AE等于AD-DE等于
-CDsinα等于 -（BD-BC）·sinα等于 -（cosβtanα-sinβ）sinα等于等等于cosαcosβ+sinαsinβ,从而同样可以得到公式是成立的.
情境2：小王同学过生日,在切蛋糕时发现了一个数学问题. 表述如下：现把一个圆形蛋糕抽象为单位圆,并置于坐标系中（如图6）[4],设∠AOC等于α,∠BOD等于β,α,β>0,α+β< ,现沿OA,OB切两刀,试探究△AOB面积,从中你能发现什么结论呢?
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