萨切里四边形和非欧几何,这是一篇与非欧几何论文范文相关的免费优秀学术论文范文资料,为你的论文写作提供参考。
非欧几何论文参考文献：
幾何学是数学科学中历史最悠久,也是最成熟的一个分支.18世纪以前,欧几里得的欧氏几何一统天下,我们现在初中所学习的几何也属于欧氏几何的范畴.但到了19世纪,非欧几何的发现对几何学产生了深远的影响.本文从欧几里得的《几何原本》说起,和大家谈谈萨切里四边形和非欧几何的联系.
大家都知道,欧几里得（公元前约325～270）是古希腊一位著名的几何学家.他将前人积累的丰富资料以及自己的发现,进行系统而严密的整理,给出了几何系统的第一个逻辑结构,写下了人类历史上的光辉巨著——《几何原本》.《几何原本》是欧氏几何的基础,欧几里得先给出了关于点、直线、圆等概念的定义,然后列出了5条公理和5条公设（《几何原本》中有“公理”和“公设”之分,近代数学对此不再区分,都称“公理”）.这本著作里的命题都是依据这些定义、公理和公设,用形式逻辑的方法推演出来的,其系统性和严谨性令人惊叹.这里给出了5个公设：
1.任何两点之间可以画一条直线；
2.有限的直线可以无限地延长；
3.以任何已知点为圆心,以任何长为半径,总可以作出一个圆；
4.所有的直角都相等；
5.如果一个平面上的两条直线和另一条直线相交,并且如果同侧内角的和小于两直角,则如果充分地延长这两条直线,它们必将在内角和小于两直角的一侧相交.如图,如果α+β<180°,则直线l1和l2必将在直线l3的右侧某一点相交.
前4个公设很容易陈述,而且的确是不证自明的.第五公设就不同了,它的叙述非常繁琐,并且不那么明了,似乎超出了直接的体验.因此,自从《几何原本》问世之后,人们就开始了对第五公设的争议和研究.许多数学家都曾尝试通过其他的公设和公理对第五公设予以证明,以消除对它的可靠性的怀疑,虽然都以失败告终,但这些研究却加深了人们对第五公设的认识,得出了许多和第五公设等价的命题,例如：过已知直线外一点能且只能作一条直线和已知直线平行.这种说法看上去简单些,但本质上和第五公设没有任何差别.
随着用直接方法验证的失败,数学家们转向间接方法,就是先否定第五公设,然后试图导出矛盾.
18世纪初叶,意大利数学家萨切里（1667～1733）曾利用一个奇特的四边形试图用归谬法证明第五公设.这个奇特的四边形ABCD是个等腰双直角四边形,即AB等于CD,∠B等于∠C等于90°,BC为下底边,AD为上底边,AB和CD为腰,∠A、∠D为顶角,这个平面上的简单的四边形被称为萨切里四边形,如下图.
在不使用欧几里得第五公设的条件下,很容易能证明∠A等于∠D,但这两个顶角的大小却无法判定,于是,萨切里提出了三种假设：
1.（直角假设）∠A和∠D都是直角；
2.（钝角假设）∠A和∠D都是钝角；
3.（锐角假设）∠A和∠D都是锐角.
萨切里当时的思路是证明在这三种假设下,只有直角假设才是正确的,而承认其他两种假设将会导致矛盾.
在直角假设下,萨切里证明了第五公设成立,反之,在第五公设成立的条件下,显然有∠A和∠D都是直角.因此,欧几里得的第五公设等价于萨切里四边形中的直角假设.在钝角假设下,萨切里导出了矛盾.而对于锐角假设,他证明得到了许多有趣的命题,如三角形内角之和小于平角,过线外一点可以作很多条直线和已知直线平行等但并没有明确地导出矛盾.尽管得到了许多有趣的命题,但萨切里认为这些命题如此奇怪,无法令人接受.于是,他断言欧几里得第五公设是成立的,并于1733年发表了名著《欧几里得无懈可击》.就这样,萨切里走到了非欧几何这个伟大发现的门前却止步了.
不过,很快就有人指出,萨切里在锐角假设下所导出的命题只是和人们的观念和经验相矛盾,而没有逻辑上的矛盾. 实际上,当承认锐角假设时,由此推出的一系列几何事实,就是罗巴切夫斯基几何的内容.1829年罗巴切夫斯基的《几何学原理》第一次公开发表了,1855年,他的最后一本著作《泛几何学》对非欧几何给出了全新的说明.
此外,当承认钝角假设时,由此推出的一系列几何事实,实际上是黎曼几何的内容.1854年,黎曼提出了一种全新的非欧几何的思想,黎曼几何.
这就是人们现在所称的两种非欧几何,通常它们的名称是罗巴切夫斯基（或双曲）几何和黎曼（或椭圆）几何.
尽管如此,萨切里的三种假设还是有功绩的,他的方法和思路给了人们很多启示.所以,人们还是认为萨切里为非欧几何的开山祖师之一.
（作者单位：江苏省扬州市田家炳实验中学）
结论：适合不知如何写非欧几何方面的相关专业大学硕士和本科毕业论文以及关于黎曼几何论文开题报告范文和相关职称论文写作参考文献资料下载。
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