怎样证明至少有一个方程有（无）实根,此文是一篇方程论文范文,为你的毕业论文写作提供有价值的参考。
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关于证明几个方程至少有一个有或无实根类问题,若从正面分类证明,将会很复杂,而且容易出错,不妨采取转化法,将所证结论转化成另一种含义不变或相反,而说法有变且有利于理解的结论,从而达到快速简捷得证的目的,现举几例以示说明.
例1 求证：不论a为何值时,关于x的两个方程x2-ax-（a-1）等于0和ax2+x+a+2等于0中,至少有一个无实数根.
分析 按a是否为0两种情况讨论,若a等于0,问题很快得证；若a≠0,则两个方程都是关于x的一元二次方程,就只需证明两个方程的判别式至少有一个小于零即可.而本题根本证明不出哪一个判别式小于零,如果将问题转化为讨论两个判别式之和的符号,就简捷得多.因为只要Δ1+Δ2<0,就可得到Δ1与Δ2中至少有一个小于零,也就是已知两方程中至少有一个没有实数根.
证明 （1）当a等于0时,方程x2-ax-（a-1）等于0变形为x2等于-1,此方程无实数根,这就已经不必再讨论第二个方程的根的情况了,因此问题得证.
（2）当a≠0时,设已知两方程的判别式分别为Δ1、Δ2.因为Δ1+Δ2等于（-a）
例2 求证：不论a为2以外的任何值、方程x2+4x-4a+12等于0和2x2-4ax+2a2+a-2等于0中必有一个无实数根（或必有一个有实根）.
分析 因为Δ1等于16a-32,Δ2等于16-8a,Δ1+Δ2等于8a-16,所以本题根本无法证明任何一个判别式小于零,也不能证明两判别式之和小于零,因此只有另谋它法.如果Δ1·Δ2<0,那么Δ1与Δ2中必有一个为负数,即两方程中必有一个无实数根.
证明 因为Δ1等于42-4（-4a+12）等于16（a-2）,Δ2等于（-4a）2-4×2×（2a2+a-2）等于-8（a-2）,又因为a≠2所以Δ1·Δ2等于-128（a-2）2<0,所以Δ1与Δ2中必有一个为负数（也必有一个为正数）.所以命题得到证.
例3 求证：不论m为任何值,方程4x2+4x+a-1等于0和4x2+4ax+a2-2a+5等于0中至少有一个无实数根.
分析 设前后两个方程的判别式分别为Δ1,Δ2.Δ1等于32-16a,Δ2等于32a-80,Δ1+Δ2等于16a-48,Δ1×Δ2等于-512（a-225）2+32.
从上可发现既无法证明某一个判别式小于0,也不能证明两个判别式之和小于0,还不能证明两个判别式之积小于0,此时好象已无它法（你能有何方法吗?）,我们不妨将“至少有一个无实根”转化为“最多只有一个有实根”,再转化为“不可能两个都有实根”,即“如果一个有实根,那么另一个不可能也有实根”.这样便可轻松证明.
证明 设已知两方程的判别式分别为Δ1,Δ2.则Δ1等于42-4×4×（a-1）等于16（2-a）,Δ2等于（4a）2-4×4×（a2-2a+5）等于32a-80等于16（2a-5）.
因为当Δ1等于16（2-a）≥0时a≤2,在此条件下Δ2≤-16<0,
当Δ2等于16（2a-5）≥0时a≥25,在此条件下Δ1≤-8<0.
所以Δ1和Δ2不可能两个都为非负数,即Δ1和Δ2中最多只有一个为非负数,也就是至少有一个为负数.所以已知两方程中至少有一个无实根.
例4 求证：不论a为何值时关于x的方程x2-ax+a等于0和4x2+8ax+5a2-4a-5等于0中,至少有一个有实根.
分析 “至少有一个方程有实根”可转化为“两个判别式中至少有一个为非负数”.（1）如果能证明两个判别式中任何一个为非负数,那么问题得以解决；（2）如果两个判别式之和为非负数,那么问题也得以解决；（3）如果两个判别式之积为非正数,那么问题同样可以得到解决.然而对于本题来说,这三种假设不是证明不了就是难以证明.因此还需再转化,将“至少有一个判别式为非负数”转化为“不可能两个判别式都小于零”.即由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组无解.
例5 已知a、b、c是互不相等的非零实数,求证：三个方程
ax2+2bx+c等于0,bx2+2cx+a等于0,cx2+2ax+b等于0不可能都有两个相等的实数根.
证明 （用反证法）设三个方程都有两个相等的实数根.
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