统计思想方法在求解整数列问题中应用,此文是一篇整数论文范文,为你的毕业论文写作提供有价值的参考。
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统计的基本思想方法是用样本估计总体,即从总体中抽取一个样本,通过对这个样本的观察、研究而得出结果,去估计总体的相应结果.这个统计思想为求解某些整数列问题开辟了一条新的途径.
如果具有某些性质的整数在自然数列（“总体”）中的分布具有某种均匀性,那么就可考虑用统计思想方法.
下面举例说明.1求某些整数列的指定项
例1从自然数列1,2,3,等,中依次划去3的倍数,4的倍数,但其中5的倍数均保留（例如15,20都不划去）,将划完后剩下的数依从小到大排列,构成数列{an},其中a1等于1,a2等于2,a3等于5,a4等于7,等,那么a1997的值是（）.
A.3328B.3321C.3330D.3329
解①估计：前100项中,3的倍数共33个；4的倍数共25个；12的倍数共8个；15的倍数共6个；20的倍数共5个；60的倍数1个.
将自然数列的前n项按要求划去所述各数后,剩下的数的个数设为φ（n）,则
φ（100）等于100-（33+25-8）+（6+5-1）等于60.所以φ（100）100等于35.
设{an}的前1997项是从数列{n}的前m项中取出的,则1997m≈35m≈3328项,即a1997近似3328或3329.
②验证：为方便计算,取n等于3330.
把前3330项自然数按要求划去所述各数,其中3的倍数1110个；4的倍数832个；12的倍数277个；15的倍数共222个；20的倍数共166个；60的倍数55个.
所以φ（3330）等于3330-（1110+832-277）+（222+166-55）等于1998.即自然数列{n}的前3330中,含有数列{an}的前1998项.
因为3330不划去,所以a1998等于3330,因3329不划去,故a1997等于3329.选D.
评这里取前100个自然数为“样本”,求出该样本中“事件A”（{an}的前r项）的容量和样本容量的比值,由此去估计出总体容量m（即数列{n}的项数）.然后对m及其附近的值加以验算、修正即可获得答案.
例2（1994年全国高中数学联赛第2试第2题）将和105互素的所有正整数从小到大排成数列,试求出这个数列的第1000项.
解①估计：因105等于3×5×7,那么和105互素的数,即是从自然数列1,2,3,等,中依次划去3的倍数、5的倍数、7的倍数后剩下的数,设这些剩下的数依从小到大排序构成数列{an}.
考虑自然数列前105项中和105互素的自然数的个数.
3的倍数35个；5的倍数21个；7的倍数15个；15的倍数7个；21的倍数5个；35的倍数3个；105的倍数1个.
将自然数列的前n项按要求划去所述各数后,剩下的数的个数设为φ（n）,则φ（105）
等于105-（35+21+15）+（7+5+3）-1等于48.所以φ（105）105等于48105等于1635,即在自然数列的前105项中和105互素的数有48个,和样本容量之比为1635.
于是数列{an}取前1000项时,自然数列{n}的项数大约为1000÷1635≈2187,即a1000在2187附近.
②验证：把前2187个自然数按要求划去所述各数,其中3的倍数共729个；5的倍数共437个；7的倍数共312个；15的倍数共145个；21的倍数共104个；35的倍数共62个；105的倍数共20个.
所以φ（2187）等于2187-（729+437+312）+（145+104+62）-20等于1000.即数列{n}的前2187项中含有数列{an}的前1000项.
因2187{an},2186在数列{an}中,故a1000等于2186.2求某些整数列的项数
例3（1987年上海高三数学竞赛试题）已知等差数列{an}：5,8,11,等,和等差数列{bn}：1,5,9,等,均有300项,则有个数同时出现在这两个数列中.
解{an}的第300项为a300等于5+299×3等于902,即为自然数列{n}的第902项；{bn}的第300项为b300等于1+299×4等于1197,即是{n}的第1197项.这两个等差数列公差的最小公倍数是12.设数列{n}的前902项中,同时出现在这两个数列中的项构成数列{cn},问题即求{cn}的项数n.
实际上,数列{cn}是从数列{n}中,自第5项起,以间隔为12,依次取出各数,按原序排列构成的一个等差数列.故取数列{n}的前12项为“样本”,其中仅有1项（即5）同在{an}和{bn}中,为样本容量的112.则n902等于112,由此估计n≈75.
验证：因c75等于5+（75-1）×12等于893在{an}、{bn}中,但893+12等于905>a300,即不在{an}中.故所求的n等于75.
例4（普通高中课程标准实验教科书,必修5第46页第6题）有两个等差数列2,6,
10,等,190及2,8,14,等,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,求这个新数列的各项之和.
解{an}：2,6,10,等,190是从数列{n}中,自第2项起,以间隔为4,依次取出各数,按原序排列而成的数列；{bn}：2,8,14,等,200是从数列{n}中,自第2项起,以间隔为6,依次取出各数,按原序排列而成的数列；现从数列{n}中,自第2项起,以间隔为12,依次取出各数,按原序排列构成一数列{cn}.显然{cn}是等差数列,且cn等于2+12（n-1）同时出现在{an}、{bn}中,设其项数为n.
仿例3的求法,有n190等于112,估计n等于15或16.因c16等于2+12×15等于182<190,
c17等于194不在数列{an}中.所以n等于16.
所以{cn}前16项之和为16等于16（2+182）2等于1472.
例5（江苏第三届高二数学通讯赛题）设f（x）等于x2+5x+6,且等于{0,1,2,等,1994},
a∈,f（a）能被6整除,具有这样性质的a的个数是.
解①估计：f（a）等于a2+5a+6等于a（a+5）+6.设a∈,f（a）被6整除,即a（a+5）被6整除的数,按从小到大排成一列,构成数列{an},需求数列{an}的项数n.
考虑a在“样本”：0,1,2,3,4,5中取值,易知a等于0,1,3,4时满足要求,此时a的取值个数和样本容量的比值为23,的容量为1995.则
n1995等于23n等于1330.
②验证：因1995等于332×6+3,当a等于6k+i（i等于0,1,3,4）时,a（a+5）能被6整除.故将中的元素按从小到大,每连续6个数分为一组,可分为332组,余下三数：1992,1993,1994,每组有4项及1992,1993均在数列{an}中,但1994不在此数列中.
所以数列{an} 有4×332+2等于1330项.
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